Size: Index   3x3   4x4   5x5   6x6   7x7   8x8   9x9   10x10   11x11   12x12   13x13

 The 5x5 Magic Square Index

# A Complete Ranked List of Order 5 Pan-Magic Squares

### Introduction.

This page provides a listing of the 144 possible order-five pan-magic squares. Attempts to provide complete listings of magic squares go back to at least 1693 when Frenicle in France concluded there were 880 squares of order-4. (This, of course, included all varieties, not just the pan-magic ones.) Henry Dudeney, in his book first published in 1917 claims that these results have been ". . .verified over and over again", but adds a sentence later that: "the enumeration of the examples of any higher order is a completely unsolved problem." (Amusements in Mathematics, Dudeney HE. Dover Publication 1970, Page 119). He wrote this before todays proliferation of powerful personal computers. Today such ennumeration is simpler. However, it seems more valuable, and interesting, to seek common underlying patterns rather than the grand total.

### Technique.

The squares were derived by substituting selected sets of numbers for the high and low order letters of the 5x5 pan-magic Graeco-Latin Square. Six sets were substituted for the High order letters and all 24 sets were substituted for the low order letter. This technique produced 144 distinct squares with different unique identifiers:

### The Variations.

Each square has 200 variations through 25 translocations, 4 rotations and 2 reflections. There are, therefore, 144 x 25 x 4 x 2 = 28800 possible regular pan-magic squares of order-4.

Graeco-Latin Square
 Aa Bd Cb De Ec Db Ee Ac Ba Cd Bc Ca Dd Eb Ae Ed Ab Be Cc Da Ce Dc Ea Ad Bb
Table 1.
 A B C D E 0 1 2 3 4 0 1 2 4 3 0 1 3 2 4 0 1 3 4 2 0 1 4 2 3 0 1 4 3 2

Table 2.
 a b c d e 0 1 2 3 4 0 1 2 4 3 0 1 3 2 4 0 1 3 4 2 0 1 4 2 3 0 1 4 3 2 0 2 1 3 4 0 2 1 4 3 0 2 3 1 4 0 2 3 4 1 0 2 4 1 3 0 2 4 3 1 0 3 1 2 4 0 3 1 4 2 0 3 2 1 4 0 3 2 4 1 0 3 4 1 2 0 3 4 2 1 0 4 1 2 3 0 4 1 3 2 0 4 2 1 3 0 4 2 3 1 0 4 3 1 2 0 4 3 2 1

### Construction.

Table 1 (Above) shows the sets of numbers which are used to substitute for the High Order (Capital) letters in the Graeco Latin Square. For each selected row of numbers from Table 1, each of the 24 rows in Table 2 (Right) is used in turn to substitute for the Low Order (Lower Case) letters.

This procedure generates 144 unique regular 5x5 pan-magic squares. The squares are then assigned unique scores and ranked in ascending order by score.

### Orientation.

The construction automatically places the zero in the top left square with the high order 1 beside it. Many squares are, therefore, already aligned to produce a minimum score. Those that were not are reflected so that the score is the minimum.

### Score.

The score is calculated for each square to be sure there are no duplicates. Where the columns are labeled A, B, C, etc., and the rows are labeled 1, 2, 3, etc:

Score = 25*(25*(25*B1+C1)+A2)+A3

This effectively multiplies the four numbers used in the score by descending powers of 25. The scores are displayed ranked by the score in ascending order.

### Analysis.

These squares were compared to an earlier set in which every possible combination used all 24 combinations in both axes. The earlier set produced four copies of each square; the comparison confirmed that only 144 unique squares exist and that the above simpler construction is sufficient.

### The Complete List: All 144 Regular Pan-Magic Squares.

Above each square is the number of the square and the unique score. Reminder: all of these squares start ot 0 and finish at 24. If you wish to compare them to a conventional square starting with 1 and ending with 25, add one to each cell.

1      101591     2      101596     3      101616     4      101621
0  6 12 23 19     0  6 12 18 24     0  6 12 24 18     0  6 12 19 23
13 24 15  1  7    13 19 20  1  7    14 23 15  1  7    14 18 20  1  7
16  2  8 14 20    21  2  8 14 15    16  2  9 13 20    21  2  9 13 15
9 10 21 17  3     9 10 16 22  3     8 10 21 17  4     8 10 16 22  4
22 18  4  5 11    17 23  4  5 11    22 19  3  5 11    17 24  3  5 11

5      102191     6      102196     7      102241     8      102246
0  6 13 22 19     0  6 13 17 24     0  6 13 24 17     0  6 13 19 22
12 24 15  1  8    12 19 20  1  8    14 22 15  1  8    14 17 20  1  8
16  3  7 14 20    21  3  7 14 15    16  3  9 12 20    21  3  9 12 15
9 10 21 18  2     9 10 16 23  2     7 10 21 18  4     7 10 16 23  4
23 17  4  5 11    18 22  4  5 11    23 19  2  5 11    18 24  2  5 11

9      102816    10      102821    11      102841    12      102846
0  6 14 22 18     0  6 14 17 23     0  6 14 23 17     0  6 14 18 22
12 23 15  1  9    12 18 20  1  9    13 22 15  1  9    13 17 20  1  9
16  4  7 13 20    21  4  7 13 15    16  4  8 12 20    21  4  8 12 15
8 10 21 19  2     8 10 16 24  2     7 10 21 19  3     7 10 16 24  3
24 17  3  5 11    19 22  3  5 11    24 18  2  5 11    19 23  2  5 11

13      104683    14      104684    15      104836    16      104861
0  6 17 14 23     0  6 17 13 24     0  6 17 23 14     0  6 17 24 13
12 24  3  5 16    12 23  4  5 16    18 24 10  1  7    19 23 10  1  7
8 15 11 22  4     9 15 11 22  3    11  2  8 19 20    11  2  9 18 20
21  2  9 18 10    21  2  8 19 10     9 15 21 12  3     8 15 21 12  4
19 13 20  1  7    18 14 20  1  7    22 13  4  5 16    22 14  3  5 16

17      105332    18      105334    19      105436    20      105486
0  6 18 14 22     0  6 18 12 24     0  6 18 22 14     0  6 18 24 12
13 24  2  5 16    13 22  4  5 16    17 24 10  1  8    19 22 10  1  8
7 15 11 23  4     9 15 11 23  2    11  3  7 19 20    11  3  9 17 20
21  3  9 17 10    21  3  7 19 10     9 15 21 13  2     7 15 21 13  4
19 12 20  1  8    17 14 20  1  8    23 12  4  5 16    23 14  2  5 16

21      105982    22      105983    23      106061    24      106086
0  6 19 13 22     0  6 19 12 23     0  6 19 22 13     0  6 19 23 12
14 23  2  5 16    14 22  3  5 16    17 23 10  1  9    18 22 10  1  9
7 15 11 24  3     8 15 11 24  2    11  4  7 18 20    11  4  8 17 20
21  4  8 17 10    21  4  7 18 10     8 15 21 14  2     7 15 21 14  3
18 12 20  1  9    17 13 20  1  9    24 12  3  5 16    24 13  2  5 16

25      107808    26      107809    27      107933    28      107934
0  6 22 14 18     0  6 22 13 19     0  6 22 19 13     0  6 22 18 14
12 19  3  5 21    12 18  4  5 21    17 14  3  5 21    17 13  4  5 21
8 20 11 17  4     9 20 11 17  3     8 20 16 12  4     9 20 16 12  3
16  2  9 23 10    16  2  8 24 10    11  2  9 23 15    11  2  8 24 15
24 13 15  1  7    23 14 15  1  7    24 18 10  1  7    23 19 10  1  7

29      108457    30      108459    31      108582    32      108584
0  6 23 14 17     0  6 23 12 19     0  6 23 19 12     0  6 23 17 14
13 19  2  5 21    13 17  4  5 21    18 14  2  5 21    18 12  4  5 21
7 20 11 18  4     9 20 11 18  2     7 20 16 13  4     9 20 16 13  2
16  3  9 22 10    16  3  7 24 10    11  3  9 22 15    11  3  7 24 15
24 12 15  1  8    22 14 15  1  8    24 17 10  1  8    22 19 10  1  8

33      109107    34      109108    35      109232    36      109233
0  6 24 13 17     0  6 24 12 18     0  6 24 18 12     0  6 24 17 13
14 18  2  5 21    14 17  3  5 21    19 13  2  5 21    19 12  3  5 21
7 20 11 19  3     8 20 11 19  2     7 20 16 14  3     8 20 16 14  2
16  4  8 22 10    16  4  7 23 10    11  4  8 22 15    11  4  7 23 15
23 12 15  1  9    22 13 15  1  9    23 17 10  1  9    22 18 10  1  9

37      116592    38      116597    39      116617    40      116622
0  7 11 23 19     0  7 11 18 24     0  7 11 24 18     0  7 11 19 23
13 24 15  2  6    13 19 20  2  6    14 23 15  2  6    14 18 20  2  6
17  1  8 14 20    22  1  8 14 15    17  1  9 13 20    22  1  9 13 15
9 10 22 16  3     9 10 17 21  3     8 10 22 16  4     8 10 17 21  4
21 18  4  5 12    16 23  4  5 12    21 19  3  5 12    16 24  3  5 12

41      117792    42      117797    43      117867    44      117872
0  7 13 21 19     0  7 13 16 24     0  7 13 24 16     0  7 13 19 21
11 24 15  2  8    11 19 20  2  8    14 21 15  2  8    14 16 20  2  8
17  3  6 14 20    22  3  6 14 15    17  3  9 11 20    22  3  9 11 15
9 10 22 18  1     9 10 17 23  1     6 10 22 18  4     6 10 17 23  4
23 16  4  5 12    18 21  4  5 12    23 19  1  5 12    18 24  1  5 12

45      118417    46      118422    47      118467    48      118472
0  7 14 21 18     0  7 14 16 23     0  7 14 23 16     0  7 14 18 21
11 23 15  2  9    11 18 20  2  9    13 21 15  2  9    13 16 20  2  9
17  4  6 13 20    22  4  6 13 15    17  4  8 11 20    22  4  8 11 15
8 10 22 19  1     8 10 17 24  1     6 10 22 19  3     6 10 17 24  3
24 16  3  5 12    19 21  3  5 12    24 18  1  5 12    19 23  1  5 12

49      119658    50      119659    51      119837    52      119862
0  7 16 14 23     0  7 16 13 24     0  7 16 23 14     0  7 16 24 13
11 24  3  5 17    11 23  4  5 17    18 24 10  2  6    19 23 10  2  6
8 15 12 21  4     9 15 12 21  3    12  1  8 19 20    12  1  9 18 20
22  1  9 18 10    22  1  8 19 10     9 15 22 11  3     8 15 22 11  4
19 13 20  2  6    18 14 20  2  6    21 13  4  5 17    21 14  3  5 17

53      120956    54      120959    55      121037    56      121112
0  7 18 14 21     0  7 18 11 24     0  7 18 21 14     0  7 18 24 11
13 24  1  5 17    13 21  4  5 17    16 24 10  2  8    19 21 10  2  8
6 15 12 23  4     9 15 12 23  1    12  3  6 19 20    12  3  9 16 20
22  3  9 16 10    22  3  6 19 10     9 15 22 13  1     6 15 22 13  4
19 11 20  2  8    16 14 20  2  8    23 11  4  5 17    23 14  1  5 17

57      121606    58      121608    59      121662    60      121712
0  7 19 13 21     0  7 19 11 23     0  7 19 21 13     0  7 19 23 11
14 23  1  5 17    14 21  3  5 17    16 23 10  2  9    18 21 10  2  9
6 15 12 24  3     8 15 12 24  1    12  4  6 18 20    12  4  8 16 20
22  4  8 16 10    22  4  6 18 10     8 15 22 14  1     6 15 22 14  3
18 11 20  2  9    16 13 20  2  9    24 11  3  5 17    24 13  1  5 17

61      122783    62      122784    63      122908    64      122909
0  7 21 14 18     0  7 21 13 19     0  7 21 19 13     0  7 21 18 14
11 19  3  5 22    11 18  4  5 22    16 14  3  5 22    16 13  4  5 22
8 20 12 16  4     9 20 12 16  3     8 20 17 11  4     9 20 17 11  3
17  1  9 23 10    17  1  8 24 10    12  1  9 23 15    12  1  8 24 15
24 13 15  2  6    23 14 15  2  6    24 18 10  2  6    23 19 10  2  6

65      124081    66      124084    67      124206    68      124209
0  7 23 14 16     0  7 23 11 19     0  7 23 19 11     0  7 23 16 14
13 19  1  5 22    13 16  4  5 22    18 14  1  5 22    18 11  4  5 22
6 20 12 18  4     9 20 12 18  1     6 20 17 13  4     9 20 17 13  1
17  3  9 21 10    17  3  6 24 10    12  3  9 21 15    12  3  6 24 15
24 11 15  2  8    21 14 15  2  8    24 16 10  2  8    21 19 10  2  8

69      124731    70      124733    71      124856    72      124858
0  7 24 13 16     0  7 24 11 18     0  7 24 18 11     0  7 24 16 13
14 18  1  5 22    14 16  3  5 22    19 13  1  5 22    19 11  3  5 22
6 20 12 19  3     8 20 12 19  1     6 20 17 14  3     8 20 17 14  1
17  4  8 21 10    17  4  6 23 10    12  4  8 21 15    12  4  6 23 15
23 11 15  2  9    21 13 15  2  9    23 16 10  2  9    21 18 10  2  9

73      132193    74      132198    75      132243    76      132248
0  8 11 22 19     0  8 11 17 24     0  8 11 24 17     0  8 11 19 22
12 24 15  3  6    12 19 20  3  6    14 22 15  3  6    14 17 20  3  6
18  1  7 14 20    23  1  7 14 15    18  1  9 12 20    23  1  9 12 15
9 10 23 16  2     9 10 18 21  2     7 10 23 16  4     7 10 18 21  4
21 17  4  5 13    16 22  4  5 13    21 19  2  5 13    16 24  2  5 13

77      132793    78      132798    79      132868    80      132873
0  8 12 21 19     0  8 12 16 24     0  8 12 24 16     0  8 12 19 21
11 24 15  3  7    11 19 20  3  7    14 21 15  3  7    14 16 20  3  7
18  2  6 14 20    23  2  6 14 15    18  2  9 11 20    23  2  9 11 15
9 10 23 17  1     9 10 18 22  1     6 10 23 17  4     6 10 18 22  4
22 16  4  5 13    17 21  4  5 13    22 19  1  5 13    17 24  1  5 13

81      134043    82      134048    83      134068    84      134073
0  8 14 21 17     0  8 14 16 22     0  8 14 22 16     0  8 14 17 21
11 22 15  3  9    11 17 20  3  9    12 21 15  3  9    12 16 20  3  9
18  4  6 12 20    23  4  6 12 15    18  4  7 11 20    23  4  7 11 15
7 10 23 19  1     7 10 18 24  1     6 10 23 19  2     6 10 18 24  2
24 16  2  5 13    19 21  2  5 13    24 17  1  5 13    19 22  1  5 13

85      135282    86      135284    87      135438    88      135488
0  8 16 14 22     0  8 16 12 24     0  8 16 22 14     0  8 16 24 12
11 24  2  5 18    11 22  4  5 18    17 24 10  3  6    19 22 10  3  6
7 15 13 21  4     9 15 13 21  2    13  1  7 19 20    13  1  9 17 20
23  1  9 17 10    23  1  7 19 10     9 15 23 11  2     7 15 23 11  4
19 12 20  3  6    17 14 20  3  6    21 12  4  5 18    21 14  2  5 18

89      135931    90      135934    91      136038    92      136113
0  8 17 14 21     0  8 17 11 24     0  8 17 21 14     0  8 17 24 11
12 24  1  5 18    12 21  4  5 18    16 24 10  3  7    19 21 10  3  7
6 15 13 22  4     9 15 13 22  1    13  2  6 19 20    13  2  9 16 20
23  2  9 16 10    23  2  6 19 10     9 15 23 12  1     6 15 23 12  4
19 11 20  3  7    16 14 20  3  7    22 11  4  5 18    22 14  1  5 18

93      137231    94      137232    95      137288    96      137313
0  8 19 12 21     0  8 19 11 22     0  8 19 21 12     0  8 19 22 11
14 22  1  5 18    14 21  2  5 18    16 22 10  3  9    17 21 10  3  9
6 15 13 24  2     7 15 13 24  1    13  4  6 17 20    13  4  7 16 20
23  4  7 16 10    23  4  6 17 10     7 15 23 14  1     6 15 23 14  2
17 11 20  3  9    16 12 20  3  9    24 11  2  5 18    24 12  1  5 18

97      138407    98      138409    99      138532   100      138534
0  8 21 14 17     0  8 21 12 19     0  8 21 19 12     0  8 21 17 14
11 19  2  5 23    11 17  4  5 23    16 14  2  5 23    16 12  4  5 23
7 20 13 16  4     9 20 13 16  2     7 20 18 11  4     9 20 18 11  2
18  1  9 22 10    18  1  7 24 10    13  1  9 22 15    13  1  7 24 15
24 12 15  3  6    22 14 15  3  6    24 17 10  3  6    22 19 10  3  6

101      139056   102      139059   103      139181   104      139184
0  8 22 14 16     0  8 22 11 19     0  8 22 19 11     0  8 22 16 14
12 19  1  5 23    12 16  4  5 23    17 14  1  5 23    17 11  4  5 23
6 20 13 17  4     9 20 13 17  1     6 20 18 12  4     9 20 18 12  1
18  2  9 21 10    18  2  6 24 10    13  2  9 21 15    13  2  6 24 15
24 11 15  3  7    21 14 15  3  7    24 16 10  3  7    21 19 10  3  7

105      140356   106      140357   107      140481   108      140482
0  8 24 12 16     0  8 24 11 17     0  8 24 17 11     0  8 24 16 12
14 17  1  5 23    14 16  2  5 23    19 12  1  5 23    19 11  2  5 23
6 20 13 19  2     7 20 13 19  1     6 20 18 14  2     7 20 18 14  1
18  4  7 21 10    18  4  6 22 10    13  4  7 21 15    13  4  6 22 15
22 11 15  3  9    21 12 15  3  9    22 16 10  3  9    21 17 10  3  9

109      147819   110      147824   111      147844   112      147849
0  9 11 22 18     0  9 11 17 23     0  9 11 23 17     0  9 11 18 22
12 23 15  4  6    12 18 20  4  6    13 22 15  4  6    13 17 20  4  6
19  1  7 13 20    24  1  7 13 15    19  1  8 12 20    24  1  8 12 15
8 10 24 16  2     8 10 19 21  2     7 10 24 16  3     7 10 19 21  3
21 17  3  5 14    16 22  3  5 14    21 18  2  5 14    16 23  2  5 14

113      148419   114      148424   115      148469   116      148474
0  9 12 21 18     0  9 12 16 23     0  9 12 23 16     0  9 12 18 21
11 23 15  4  7    11 18 20  4  7    13 21 15  4  7    13 16 20  4  7
19  2  6 13 20    24  2  6 13 15    19  2  8 11 20    24  2  8 11 15
8 10 24 17  1     8 10 19 22  1     6 10 24 17  3     6 10 19 22  3
22 16  3  5 14    17 21  3  5 14    22 18  1  5 14    17 23  1  5 14

117      149044   118      149049   119      149069   120      149074
0  9 13 21 17     0  9 13 16 22     0  9 13 22 16     0  9 13 17 21
11 22 15  4  8    11 17 20  4  8    12 21 15  4  8    12 16 20  4  8
19  3  6 12 20    24  3  6 12 15    19  3  7 11 20    24  3  7 11 15
7 10 24 18  1     7 10 19 23  1     6 10 24 18  2     6 10 19 23  2
23 16  2  5 14    18 21  2  5 14    23 17  1  5 14    18 22  1  5 14

121      150907   122      150908   123      151064   124      151089
0  9 16 13 22     0  9 16 12 23     0  9 16 22 13     0  9 16 23 12
11 23  2  5 19    11 22  3  5 19    17 23 10  4  6    18 22 10  4  6
7 15 14 21  3     8 15 14 21  2    14  1  7 18 20    14  1  8 17 20
24  1  8 17 10    24  1  7 18 10     8 15 24 11  2     7 15 24 11  3
18 12 20  4  6    17 13 20  4  6    21 12  3  5 19    21 13  2  5 19

125      151556   126      151558   127      151664   128      151714
0  9 17 13 21     0  9 17 11 23     0  9 17 21 13     0  9 17 23 11
12 23  1  5 19    12 21  3  5 19    16 23 10  4  7    18 21 10  4  7
6 15 14 22  3     8 15 14 22  1    14  2  6 18 20    14  2  8 16 20
24  2  8 16 10    24  2  6 18 10     8 15 24 12  1     6 15 24 12  3
18 11 20  4  7    16 13 20  4  7    22 11  3  5 19    22 13  1  5 19

129      152206   130      152207   131      152289   132      152314
0  9 18 12 21     0  9 18 11 22     0  9 18 21 12     0  9 18 22 11
13 22  1  5 19    13 21  2  5 19    16 22 10  4  8    17 21 10  4  8
6 15 14 23  2     7 15 14 23  1    14  3  6 17 20    14  3  7 16 20
24  3  7 16 10    24  3  6 17 10     7 15 24 13  1     6 15 24 13  2
17 11 20  4  8    16 12 20  4  8    23 11  2  5 19    23 12  1  5 19

133      154032   134      154033   135      154157   136      154158
0  9 21 13 17     0  9 21 12 18     0  9 21 18 12     0  9 21 17 13
11 18  2  5 24    11 17  3  5 24    16 13  2  5 24    16 12  3  5 24
7 20 14 16  3     8 20 14 16  2     7 20 19 11  3     8 20 19 11  2
19  1  8 22 10    19  1  7 23 10    14  1  8 22 15    14  1  7 23 15
23 12 15  4  6    22 13 15  4  6    23 17 10  4  6    22 18 10  4  6

137      154681   138      154683   139      154806   140      154808
0  9 22 13 16     0  9 22 11 18     0  9 22 18 11     0  9 22 16 13
12 18  1  5 24    12 16  3  5 24    17 13  1  5 24    17 11  3  5 24
6 20 14 17  3     8 20 14 17  1     6 20 19 12  3     8 20 19 12  1
19  2  8 21 10    19  2  6 23 10    14  2  8 21 15    14  2  6 23 15
23 11 15  4  7    21 13 15  4  7    23 16 10  4  7    21 18 10  4  7

141      155331   142      155332   143      155456   144      155457
0  9 23 12 16     0  9 23 11 17     0  9 23 17 11     0  9 23 16 12
13 17  1  5 24    13 16  2  5 24    18 12  1  5 24    18 11  2  5 24
6 20 14 18  2     7 20 14 18  1     6 20 19 13  2     7 20 19 13  1
19  3  7 21 10    19  3  6 22 10    14  3  7 21 15    14  3  6 22 15
22 11 15  4  8    21 12 15  4  8    22 16 10  4  8    21 17 10  4  8

 The 5x5 Magic Square Index

 Size: